Bøger af Paul Bernays

Die Leitgedanken meiner Untersuchungen uber die Grundlagen der Mathematik, die ich - anknupfend an fruhere Ansatze - seit 1917 in Besprechungen mit P. BERNAYS wieder aufgenommen habe, sind von mir an verschiedenen Stellen eingehend dargelegt worden. Diesen Untersuchungen, an denen auch W. ACKERMANN beteiligt ist, haben sich seither noch verschiedene Mathematiker angeschlossen. Der hier in seinem ersten Teil vorliegende, von BERNAYS abgefate und noch fortzusetzende Lehrgang bezweckt eine Darstellung der Theorie nach ihren heutigen Ergebnissen. Dieser Ergebnisstand weist zugleich die Richtung fur die weitere Forschung in der Beweistheorie auf das Endziel hin, unsere ublichen Methoden der Mathematik samt und sonders als widerspruchsfrei zu erkennen. Im Hinblick auf dieses Ziel mochte ich hervorheben, da die zeit- weilig aufgekommene Meinung, aus gewissen neueren Ergebnissen von GODEL folge die Undurchfuhrbarkeit meiner Beweistheorie, als irrtum- lich erwiesen ist. Jenes Ergebnis zeigt in der Tat auch nur, da man fur die weitergehenden Widerspruchsfreiheitsbeweise den finiten Stand- punkt in einer scharferen Weise ausnutzen mu, als dieses bei der Be- trachtung der elementaren Formallsmen erforderlich ist. Gottingen, im Marz 1934 HILBERT Vorwort zur ersten Auflage Eine Darstellung der Beweistheorie, welche aus dem HILBERTschen Ansatz zur Behandlung der mathematisch-logischen Grundlagenpro- bleme erwachsen ist, wurde schon seit langerem von HILBERT ange- kundigt.

Der vorliegende Band schliet die Darstellung der Beweistheorie ab, die ich vor einigen Jahren zusammen mit P. BERNAYS begann. Auf meinen Wunsch hat P. BERNAYS wieder die Abfassung des Textes uber- nommen. Ich danke ihm fur die Sorgfalt und Treue, mit der er meine Gedanken wiedergegeben hat, an deren Entwicklung er in jahrelanger Zusammenarbeit aufs starkste beteiligt war. Ohne seine Mithilfe ware die Vollendung dieses Buches unmoglich gewesen. Den Herren W. ACKERMANN, G. GENTZEN, A. SCHMIDT, H. SCHOLZ danke ich fur ihre freundliche Mitwirkung bei den Korrekturen. Gottingen, im Marz 1939 HILBERT Zur Einfuhrung Das vorliegende Buch soll einer eingehenden Orientierung uber den gegenwartigen Stoff der HILBERTschen Beweistheorie dienen. Wenn- gleich das bisher hier Erreichte gemessen an den Zielen der Theorie sehr bescheiden ist, so liegt doch ein reichlicher Stoff an pragnanten Ergebnissen, an Gesichtspunkten und Beweisgedanken vor, die zur Kenntnis zu bringen als lohnend erscheint. Fur die inhaltliche Gestaltung dieses zweiten Bandes waren durch den Zweck des Buches zwei Hauptthemata vorgezeichnet. - Es handelte sich einmal darum, die hauptsachlichen, an das e-Symbol sich knupfenden beweistheoretischen Ansatze HILBERTS und ihre Durchfuhrung zur ein- gehenden Darstellung zu bringen.