Bøger af Henri Lombardi

Ce livre est une introduction à la théorie de la complexité algébrique basée sur un panorama des méthodes algorithmiques en algèbre linéaire exacte. Il donne en particulier les principaux algorithmes pour le calcul du polynôme caractéristique. Il donne aussi une discussion détaillée des méthodes de multiplication rapide des polynômes et des matrices, sans pour autant réclamer de prérequis théoriques de haut niveau. Tout en étant centré sur les problèmes de complexité algébrique, il aborde aussi la complexité binaire. Une place importante est accordée au parallélisme. Le livre se termine par une introduction raisonnée à l'importante théorie de Valiant concernant un analogue algébrique de la conjecture P = NP. Ce livre se remarque par l'étendue des sujets traités tout en restant très lisible.

The authors prove an elementary recursive bound on the degrees for Hilbert's 17th problem. More precisely they express a nonnegative polynomial as a sum of squares of rational functions and obtain as degree estimates for the numerators and denominators the following tower of five exponentials $ 2^{ 2^{ 2^{d^{4^{k}}} } } $ where $d$ is the number of variables of the input polynomial. The authors' method is based on the proof of an elementary recursive bound on the degrees for Stengle's Positivstellensatz. More precisely the authors give an algebraic certificate of the emptyness of the realization of a system of sign conditions and obtain as degree bounds for this certificate a tower of five exponentials, namely $ 2^{ 2^{\left(2^{\max\{2,d\}^{4^{k}}}+ s^{2^{k}}\max\{2, d\}^{16^{k}{\mathrm bit}(d)} \right)} } $ where $d$ is a bound on the degrees, $s$ is the number of polynomials and $k$ is the number of variables of the input polynomials.