Bøger af Ehrhard Behrends

The aim of the book is to study symmetries and tesselation, which have long interested artists and mathematicians. Famous examples are the works created by the Arabs in the Alhambra and the paintings of the Dutch painter Maurits Escher. Mathematicians did not take up the subject intensively until the 19th century. In the process, the visualisation of mathematical relationships leads to very appealing images. Three approaches are described in this book.In Part I, it is shown that there are 17 principally different possibilities of tesselation of the plane, the so-called "e;plane crystal groups"e;. Complementary to this, ideas of Harald Heesch are described, who showed how these theoretical results can be put into practice: He gave a catalogue of 28 procedures that one can use creatively oneself - following in the footsteps of Escher, so to speak - to create artistically sophisticated tesselation.In the corresponding investigations for the complex plane in Part II, movements are replaced by bijective holomorphic mappings. This leads into the theory of groups of Mobius transformations: Kleinian groups, Schottky groups, etc. There are also interesting connections to hyperbolic geometry.Finally, in Part III, a third aspect of the subject is treated, the Penrose tesselation. This concerns results from the seventies, when easily describable and provably non-periodic parquetisations of the plane were given for the first time. 

Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die Künstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. Berühmte Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke und die Bilder des holländischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei führt die Visualisierung der mathematischen Zusammenhänge zu sehr ansprechenden Bildern. Drei Ansätze werden in diesem Buch beschrieben. In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene Möglichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten "Ebenen Kristallgruppen". Ergänzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden können: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung künstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann. Bei den entsprechenden Untersuchungen für die komplexe Ebene in Teil II werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das führt in die Theorie der Gruppen von Möbiustransformationen: Kleinsche Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie. Schließlich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden.

In diesem Lehrbuch kommen die wichtigsten Konzepte der elementaren Stochastik vor, und es wird klar, dass sie eine enge Beziehung zum "e;wirklichen Leben"e; haben. Es ist kein "e;trockenes"e; Lehrbuch, sondern es enthalt neben dem Lehrstoff viele erganzende Bemerkungen und Bilder zur Illustration. Man kann sich einige der behandeltenThemen auch durch kleine Computerprogramme visualisieren lassen, die auf der zum Buch gehorigen Internetseite zur Verfugung gestellt werden. Das Buch ist auch zum Selbststudium gut geeignet. Alle neuen Begriffe werden ausfuhrlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so transparent wie moglich gemacht. An der Entstehung des Buches hat eine Gruppe von Studierenden intensiv mitgearbeitet.

Das Buch enthalt einen Querschnitt durch die moderne und alltagliche Mathematik. Die 100 Beitrage sind aus der Kolumne "e;Funf Minuten Mathematik"e; hervorgegangen, in der verschiedene mathematische Gebiete in einer fur Laien verstandlichen Sprache behandelt wurden. Der Leser findet hier den mathematischen Hintergrund und viele attraktive Fotos zur Veranschaulichung der Mathematik. Fur die Neuauflage wurde der Text aktualisiert und erganzt; anhand von QR-Codes konnen zu verschiedenen Themen kurze Filme bei Youtube abgerufen werden.

Das Buch ist im Stil der Analysis 1 geschrieben: Alles wird sehr ausfuhrlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem ublichen Stoff einer Analysis 2 (Funktionenraume, Integration, Differentialrechnung fur Funktionen in mehreren Veranderlichen) enthalt das Buch eine Reihe von Besonderheiten, die es sonst in keinem Lehrbuch gibt. Zum Beispiel ist der Satz von Liouville enthalten, durch den garantiert wird, dass gewisse einfache Funktionen nicht geschlossen integriert werden konnen. Im Kapitel "e;Anwendungen der Integralrechnung"e; gibt es einen Abschnitt zur Zahlentheorie, in dem Transzendenzbeweise fur konkrete Zahlen - unter anderem fur die Zahl e - gefuhrt werden; in diesem Kapitel wird auch der Existenzsatz von Picard-Lindelof behandelt. Und schlielich gibt es noch einen ausfuhrlichen Anhang zum Thema "e;Englisch fur Mathematiker"e;: Was muss man beachten, wenn man sich auf Englisch uber Mathematik unterhalten mochte? In der 2.Auflage wurde der Text an vielen Stellen korrigiert, und in Kapitel 6 (Integration) wurde ein Abschnitt uberarbeitet.