Bøger i Mathematische Leitfaden serien

Dieses Buch ist aus Vorlesungen und Ubungen entstanden, die ich mehrfach an der Universitat Karlsruhe fur Mathematiker, Physiker, Ingenieure und Informati- ker gehalten habe. Es ist so geschrieben, da es zum Selbststudium dienen kann: Die Gedankengange sind ausgiebig motiviert, die Beweise detailliert, und an durchgerechneten Beispielen und gelosten Aufgaben herrscht kein Mangel. Bei der Abfassung schwebte mir vor, nicht nur ein theoretisches Gerust aufzubau- en, sondern auch eine Brucke zu den Anwendungen zu schlagen. Damit wollte ich zweierlei erreichen: erstens wollte ich ganz nuchtern und pragmatisch den Stu- denten der Mathematik auf seine spatere Zusammenarbeit mit Naturwissenschaft- lern und Ingenieuren einstimmen und im gleichen Atemzug auch dem "e;Anwen- der"e; den Zugang zu den Differentialgleichungen erleichtern. Zweitens wollte ich - weniger nuchtern und weniger pragmatisch - den Leser auf etwas hinweisen, das zu den Wundern und Kraftquellen unserer Kultur gehort: auf die Tatsache, da "e;reines"e; Denken, "e;Hirn-Gespinst"e; -eben Mathematik - die reale Welt nach- zeichnen und umgestalten kann. Das Staunen hieruber hat denn auch alle Philo- sophen ergriffen, die nicht blo Schwadroneure waren. Und noch Einstein fragte verwundert: "e;Wie ist es moglich, da die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens, unabhangig von der Erfahrung, den wirklichen Gegeben- heiten so wunderbar entspricht?"e; Die wissenschaftliche Revolution, die uns noch immer treibt und drangt und druckt, diese sehr revolutionare Revolution, hat im 17. Jahrhundert begonnen, und ihre Bastillesturmer waren "e;Hirngespinste"e; par ex- cellence: Newtonsehe Fluxionen und Leibnizsche Differentiale.

Bei der Abfassung des zweiten Bandes meines Lehrbuches der Analysis bin ich den- selben Grundsatzen gefolgt, die fur den ersten bestimmend waren: Ich wollte die Theorie ausfuhrlich und falich darstellen, ausgiebig motivieren und durch viele Beispiele und Ubungen zum sicheren Besitz des Lesers machen. Auerdem wollte ich Brucken schlagen zu den Anwendungen analytischer Methoden in den allerver- schiedensten Wissenschaften und dabei das wechselseitig fordernde Ineinandergrei- fen "e;blasser"e; Theorie und "e;handfester"e; Praxis aufscheinen lassen, ein Ineinander- greifen, dem die Analysis einen guten Teil ihrer Vitalitat und Dynamik verdankt. Und schlielich wollte ich durch eine klare und auch auerlich leicht erkennbare Scheidung von Methoden- und Anwendungsteilen dafur sorgen, da der Leser trotz der Fulle des Materials den roten Faden nicht verliert. Dieser rote Faden ist der Versuch, das Anderungsverhalten der Funktionen begrifflich zu erhellen und aus der Anderung einer Funktion "e;im Kleinen"e; ihren Verlauf "e;im Groen"e; zu rekon- struieren. Dabei stehen diesmal im Vordergrund der Uberlegungen Funktionen, de- ren Argumente und Werte Vektoren aus dem RP oder sogar Elemente aus noch viel allgemeineren Raumen sind. Dieser Ubergang vom Eindimensionalen zum Mehrdi- mensionalen entspringt nicht muiger Neugier und Verallgemeinerungssucht - er wird uns vielmehr sehr nachdrucklich durch die unabweisbaren Bedurfnisse der Pra- xis aufgenotigt. Die Prozesse der Natur spielen sich eben fur gewohnlich im Raum und nicht nur auf einer Geraden ab. Die Analysis ist in einer 2500jahrigen Entwicklung muhevoll zu dem geworden, was sie heute ist.

In dieser umfassenden Einfuhrung in die Numerische Mathematik wird konsequent der Anwendungsbezug dargestellt. Zudem werden dem Leser detaillierte Hinweise auf numerische Verfahren zur Losung gewohnlicher und partieller Differentialgleichungen gegeben. Ein Kapitel zur Modellierung erleichtert den Studierenden das Verstandnis fur das Losungsverhalten bei Differentialgleichungen. Die besondere Qualitat des Buches liegt in der Klarheit und Prazision der Darstellung.

Auch im zweiten Teil wird gezeigt, wie analytische Methoden in den verschiedensten Wissenschaften eingesetzt werden, von der Astronomie bis zur Ökonomie. Diesmal handelt es sich um Funktionen von mehreren Veränderlichen. Es werden Banachräume, Banachalgebren und Topologische Räume herangezogen, ferner wird ein angemessenes Gewicht auf das Lebesguesche Integral und auf Fixpunktsätze (mit verblüffenden Anwendungen) gelegt. Das Buch endet mit einer Darstellung der geschichtlichen Entwicklung der Analysis von den Phythagoreern bis Weierstraß.

Das vorliegende Buch vermittelt nicht nur die Grundbegriffe, Haupttheoreme und tragenden Methoden der Funktionalanalysis in lebendiger und eingängiger Weise, sondern entwickelt dies aus den praktischen Fragestellungen der Naturwissenschaften und der klassischen Analysis. Eine Vielzahl von Beispielen und Aufgaben hilft bei der Vertiefung und Einübung des Gelernten.

Ein ungewöhnliches Buch über gewöhnliche Differentialgleichungen"Ein Naturgesetz ist eine unveränderliche Beziehung zwischen der Erscheinung von heute und der von morgen, mit einem Wort: es ist eine Differentialgleichung." So Henri Poincaré, einer der größten Mathematiker um 1900. Die Naturwissenschaften sind ohne Differentialgleichungen nicht vorstellbar. Dieses Buch möchte deshalb nicht nur in ihre Theorie einführen, sondern mittels vieler Beispiele aus Physik, Chemie, Astronomie, Biologie, Medizin und Ingenieurwissenschaften auch Ausblicke auf ihre naturerschließende Kraft und ihre praktischen Anwendungen geben.

1m Jahre 1945 haben Eilenberg und Mac Lane in ihrer Arbeit tiber eine "General theory of natural equivalences" 1) die Grundlagen zur Theorie der Kategorien und Funktoren gelegt. Es dauerte dann noch zehn Jahre, bis die Zeit mr eine Weiterentwicklung dieser Theorie reif war. Zu Beginn des Jahrhunderts hatte man noch vorwiegend einzelne mathematische Objekte studiert, in den letzten Dekadenjedoch hat sich das Interesse immer mehr der Unter­ suchung der zuliissigen Abbildungen zwischen mathematischen Objekten und von ganzen Klassen von Objekten zugewendet. Die angemessene Methode fiir diese neue Auffassung ist die Theorie der Kategorien und Funktoren. Ihre neue Sprache - selbst von ihren Begrtindern zuniichst als "general abstract nonsense" bezeichnet - breitete sich in den verschiedensten Gebieten der Mathematik aus. Die Theorie der Kategorien und Funktoren abstrahiert die Begriffe "Objekt" und "Abbil­ dung" von den zugrunde liegenden mathematischen Gebieten, z. B. der Algebra oder der Topologie, und untersucht, welche Aussagen in einer solchen abstrakten Struktur moglich sind. Diese sind dann in all den mathematischen Gebieten giiltig, die sich mit dieser Sprache erfassen lassen. Selbstverstiindlich bestehen heute einige Tendenzen, die Theorie der Kategorien und Funkto­ ren zu verselbstiindigen und losgelost von anderen mathematischen Disziplinen zu betrachten, was zum Beispiel im Hinblick auf die Grundlagen der Mathematik einen besonderen Reiz hat.

Das vorliegende, 1963 in erster Auflage erschienene Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen. Es soll eine Einführung in die klassische zweiwertige Prädikaten­ logik geben. Die Beschränkung auf die klassische Logik soll nicht besagen, daß diese Logik prinzipiell einen Vorzug vor anderen, nichtklassischen Logiken besitzt. Die klassische Logik empfiehlt sich jedoch als Einführung in die Logik wegen ihrer Einfachheit und als Fundament für die Anwendung deshalb, weil sie der klassischen Mathematik und damit den darauf aufgebauten exakten Wissenschaften zugrunde liegt. Das Buch wendet sich primär an Studierende der Mathematik, die in den An­ fängervorlesungen bereits einige grundlegende mathematische Begriffe, wie den Gruppenbegriff, kennengelernt haben. Der Leser soll dazu geführt werden, daß er die Vorteile einer Formalisierung einsieht. Der übergang von der Umgangssprache zu einer formalisierten Sprache, welcher erfahrungsgemäß gewisse Schwierigkeiten bereitet, wird eingehend besprochen und eingeübt. Die Analyse desmathemati­ schen Umgangs mit den grundlegenden mathematischen Strukturen führt in zwangloser Weise zum semantisch begründeten Folgerungsbegriff.